5. Найти все функции, имеющие производную, равную x² – 4x.

Решение:

Если производная функции \( F'(x) = x^2 - 4x \), то сама функция \( F(x) \) является первообразной для \( x^2 - 4x \).

Для нахождения первообразной проинтегрируем заданную функцию:

\[ F(x) = \int (x^2 - 4x) dx \]

Используя правила интегрирования \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) и \( \int k f(x) dx = k \int f(x) dx \), получаем:

\[ F(x) = \frac{x^{2+1}}{2+1} - 4 \frac{x^{1+1}}{1+1} + C \]

\[ F(x) = \frac{x^3}{3} - 4 \frac{x^2}{2} + C \]

\[ F(x) = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + C \]

Где \( C \) — произвольная постоянная.

Ответ: \( F(x) = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + C \)