10. Определить промежутки возрастания и убывания функции y = \(\frac{5}{\sqrt{x^2-3x-10}}\)

Решение:

1. Найдем область определения функции. Для этого знаменатель должен быть положителен: \( \sqrt{x^2-3x-10} > 0 \).
2. Возведем в квадрат: \( x^2-3x-10 > 0 \).
3. Найдем корни квадратного трехчлена \( x^2-3x-10=0 \): \( D = (-3)^2 - 4(1)(-10) = 9 + 40 = 49 \). \( x_1 = \frac{3-7}{2} = -2 \), \( x_2 = \frac{3+7}{2} = 5 \).
4. Так как ветви параболы \( y = x^2-3x-10 \) направлены вверх, то \( x^2-3x-10 > 0 \) при \( x \in (-\infty; -2) \cup (5; +\infty) \). Это область определения функции.
5. Найдем производную функции. Используем правило дифференцирования сложной функции: \( y = 5 (x^2-3x-10)^{-1/2} \).
6. \( y' = 5 \cdot (-\frac{1}{2}) (x^2-3x-10)^{-3/2} \cdot (2x-3) \)
7. \( y' = -\frac{5}{2} \frac{2x-3}{(x^2-3x-10)^{3/2}} \).
8. Чтобы определить промежутки возрастания и убывания, найдем критические точки, где \( y' = 0 \) или \( y' \) не существует. \( y' = 0 \) когда \( 2x-3 = 0 \), т.е. \( x = 1,5 \).
9. Однако, \( x = 1,5 \) не входит в область определения функции \( (-\infty; -2) \cup (5; +\infty) \).
10. Теперь определим знаки производной на промежутках области определения:
• На интервале \( (-\infty; -2) \), например, при \( x = -3 \): \( 2x-3 = 2(-3)-3 = -6-3 = -9 \) (отрицательное). Знаменатель \( (x^2-3x-10)^{3/2} \) всегда положителен. \( y' = -\frac{5}{2} \frac{-9}{+ve} = +ve \). Функция возрастает.
• На интервале \( (5; +\infty) \), например, при \( x = 6 \): \( 2x-3 = 2(6)-3 = 12-3 = 9 \) (положительное). \( y' = -\frac{5}{2} \frac{+9}{+ve} = -ve \). Функция убывает.

Ответ: Функция возрастает на \( (-\infty; -2) \) и убывает на \( (5; +\infty) \).