6. Решить уравнение: 3^{1-x} – 3^{x} = 2.

Решение:

1. Обозначим \( y = 3^x \). Тогда \( 3^{1-x} = \frac{3^1}{3^x} = \frac{3}{y} \).
2. Уравнение примет вид: \( \frac{3}{y} - y = 2 \).
3. Умножим обе части на \( y \) (учитывая, что \( y = 3^x > 0 \)): \( 3 - y^2 = 2y \).
4. Перенесем все члены в одну сторону: \( y^2 + 2y - 3 = 0 \).
5. Решим квадратное уравнение относительно \( y \). Дискриминант \( D = 2^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \).
6. Корни для \( y \): \( y_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \) и \( y_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 - 4}{2} = -3 \).
7. Так как \( y = 3^x \) должно быть больше 0, то \( y = -3 \) не подходит.
8. Рассматриваем \( y = 1 \): \( 3^x = 1 \).
9. \( 3^x = 3^0 \).
10. Следовательно, \( x = 0 \).

Ответ: \( x = 0 \)