7. Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x) = 2x³ + 3x² + 2 на отрезке [-2; 0]

Решение:

1. Найдём производную функции: \( f'(x) = (2x^3 + 3x^2 + 2)' = 6x^2 + 6x \).
2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: \( 6x^2 + 6x = 0 \) \( \implies 6x(x+1) = 0 \).
3. Критические точки: \( x=0 \) и \( x=-1 \).
4. Обе критические точки принадлежат отрезку [-2; 0].
5. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих отрезку:
• \( f(-2) = 2(-2)^3 + 3(-2)^2 + 2 = 2(-8) + 3(4) + 2 = -16 + 12 + 2 = -2 \)
• \( f(-1) = 2(-1)^3 + 3(-1)^2 + 2 = 2(-1) + 3(1) + 2 = -2 + 3 + 2 = 3 \)
• \( f(0) = 2(0)^3 + 3(0)^2 + 2 = 0 + 0 + 2 = 2 \)
6. Сравним полученные значения: -2, 3, 2.
7. Наибольшее значение равно 3, наименьшее значение равно -2.

Ответ: Наибольшее значение 3, наименьшее значение -2.