9. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды 6 см, оно наклонено к плоскости основания под углом 30°. Найти объем пирамиды.

Решение:

1. Пусть \( l \) — длина бокового ребра, \( l = 6 \) см.
2. Угол наклона бокового ребра к плоскости основания равен \( \alpha = 30^{\circ} \).
3. Пусть \( H \) — высота пирамиды, \( R \) — радиус описанной около основания окружности.
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром, высотой пирамиды и радиусом описанной окружности. В этом треугольнике: \( H = l \sin \alpha \) и \( R = l \cos \alpha \).
5. Вычислим высоту пирамиды: \( H = 6 \sin 30^{\circ} = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \) см.
6. Вычислим радиус описанной окружности: \( R = 6 \cos 30^{\circ} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \) см.
7. Для правильной треугольной пирамиды радиус описанной окружности связан со стороной основания \( a \) соотношением: \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} \).
8. Выразим сторону основания: \( a = R \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \cdot 3 = 9 \) см.
9. Найдем площадь основания правильного треугольника: \( S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{9^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{81 \sqrt{3}}{4} \) см².
10. Объем пирамиды вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3} S_{осн} H \).
11. Подставим значения площади основания и высоты: \( V = \frac{1}{3} \cdot \frac{81 \sqrt{3}}{4} \cdot 3 = \frac{81 \sqrt{3}}{4} \) см³.

Ответ: \( \frac{81 \sqrt{3}}{4} \) см³.