9. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды 6 см, оно наклонено к плоскости основания под углом 30°. Найти объем пирамиды.

Решение:

1. Обозначим боковое ребро как \( b = 6 \) см, а угол наклона бокового ребра к плоскости основания как \( \alpha = 30° \).
2. В правильной треугольной пирамиде боковые ребра равны.
3. Объем пирамиды находится по формуле: \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h \), где \( S_{осн} \) — площадь основания, \( h \) — высота пирамиды.
4. Площадь основания правильной треугольной пирамиды: \( S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \), где \( a \) — сторона основания.
5. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром, высотой пирамиды и радиусом описанной окружности основания (центр правильного треугольника является центром описанной окружности). В этом треугольнике:
• Гипотенуза — боковое ребро \( b = 6 \) см.
• Угол при основании — \( \alpha = 30° \).
• Катет, противолежащий углу \( \alpha \) — высота пирамиды \( h \).
• Катет, прилежащий углу \( \alpha \) — радиус описанной окружности \( R \).
6. Найдём высоту пирамиды: \( h = b \cdot \sin(\alpha) = 6 \cdot \sin(30°) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \) см.
7. Найдём радиус описанной окружности: \( R = b \cdot \cos(\alpha) = 6 \cdot \cos(30°) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \) см.
8. В правильном треугольнике радиус описанной окружности связан со стороной \( a \) формулой: \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} \).
9. Отсюда найдём сторону основания: \( a = R \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \cdot 3 = 9 \) см.
10. Теперь найдём площадь основания: \( S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{9^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{81\sqrt{3}}{4} \) см².
11. Наконец, вычислим объем пирамиды: \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{81\sqrt{3}}{4} \cdot 3 = \frac{81\sqrt{3}}{4} \) см³.

Ответ: \(\frac{81√3}{4}\) см³.