6. Вычислите интеграл: ∫_-1² 2x³ dx

Решение:

1. Найдём первообразную для функции \( f(x) = 2x^3 \). Первообразная \( F(x) = 2 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = 2 \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{x^4}{2} \).
2. Применим формулу Ньютона-Лейбница: \( \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \).
3. \( \int_{-1}^2 2x^3 dx = F(2) - F(-1) \)
4. \( F(2) = \frac{2^4}{2} = \frac{16}{2} = 8 \)
5. \( F(-1) = \frac{(-1)^4}{2} = \frac{1}{2} \)
6. \( F(2) - F(-1) = 8 - \frac{1}{2} = \frac{16}{2} - \frac{1}{2} = \frac{15}{2} \)

Ответ: 7.5.