№ 7. Найдите производную функции: y= 4√x + 6x + 2.

Решение:

Используем правила дифференцирования:

• Производная \( \sqrt{x} = x^{1/2} \) равна \( \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \).
• Производная \( ax \) равна \( a \).
• Производная константы равна \( 0 \).

Дифференцируем функцию \( y = 4\sqrt{x} + 6x + 2 \):

\( y' = (4\sqrt{x})' + (6x)' + (2)' \)

\( y' = 4(\sqrt{x})' + 6(x)' + (2)' \)

\( y' = 4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} + 6 \cdot 1 + 0 \)

\( y' = \frac{2}{\sqrt{x}} + 6 \) или \( y' = 2x^{-1/2} + 6 \).

Ответ: \( y' = \frac{2}{\sqrt{x}} + 6 \).