№ 15. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у =3x-1, y = 0, x = 1, x = 2.

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции \( y = f(x) \), осью \( Ox \) и прямыми \( x=a \) и \( x=b \), вычисляется по формуле определённого интеграла:

\( S = \int_a^b |f(x)| dx \).

В данном случае \( f(x) = 3x - 1 \), \( a = 1 \), \( b = 2 \). Проверим знак функции на отрезке [1; 2]. При \( x=1 \), \( y = 3(1)-1 = 2 \). При \( x=2 \), \( y = 3(2)-1 = 5 \). На всём отрезке \( [1, 2] \) функция \( y = 3x - 1 \) положительна, поэтому \( |3x - 1| = 3x - 1 \).

\( S = \int_1^2 (3x - 1) dx \).

Найдём первообразную для \( 3x - 1 \):

\( \int (3x - 1) dx = \frac{3x^2}{2} - x \).

Теперь вычислим определённый интеграл:

\( S = \left[ \frac{3x^2}{2} - x \right]_1^2 \).

\( S = \left( \frac{3(2)^2}{2} - 2 \right) - \left( \frac{3(1)^2}{2} - 1 \right) \).

\( S = \left( \frac{3 \cdot 4}{2} - 2 \right) - \left( \frac{3}{2} - 1 \right) \).

\( S = \left( 6 - 2 \right) - \left( \frac{3}{2} - \frac{2}{2} \right) \).

\( S = 4 - \frac{1}{2} \).

\( S = \frac{8}{2} - \frac{1}{2} = \frac{7}{2} \).

\( S = 3.5 \).

Ответ: 3.5.