№ 11. Решите уравнение: х-2 = 2 + √2x + 7.

Решение:

1. Изолируем корень: \( x - 2 - 2 = \sqrt{2x+7} \)
2. \( x - 4 = \sqrt{2x+7} \)
3. Возведём обе части уравнения в квадрат: \( (x-4)^2 = 2x+7 \)
4. \( x^2 - 8x + 16 = 2x + 7 \)
5. Перенесём все члены в одну сторону: \( x^2 - 8x - 2x + 16 - 7 = 0 \)
6. \( x^2 - 10x + 9 = 0 \)
7. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64 \). \( \sqrt{D} = 8 \).
8. \( x_1 = \frac{10 + 8}{2} = \frac{18}{2} = 9 \)
9. \( x_2 = \frac{10 - 8}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)
10. Проверим корни в исходном уравнении.
11. Для \( x = 9 \): \( 9 - 2 = 7 \) и \( 2 + \sqrt{2 \cdot 9 + 7} = 2 + \sqrt{18+7} = 2 + \sqrt{25} = 2 + 5 = 7 \). \( 7 = 7 \). Подходит.
12. Для \( x = 1 \): \( 1 - 2 = -1 \) и \( 2 + \sqrt{2 \cdot 1 + 7} = 2 + \sqrt{2+7} = 2 + \sqrt{9} = 2 + 3 = 5 \). \( -1 \neq 5 \). Не подходит.

Ответ: \( x = 9 \).