7) \(\frac{1-sin^2 \beta}{1-cos^2 \beta}\) + tg\(\frac{\pi}{5}\) ctg\(\frac{\pi}{5}\)

Решение:

Используем основные тригонометрические тождества:

\( 1 - \text{sin}^2 \beta = \text{cos}^2 \beta \)

\( 1 - \text{cos}^2 \beta = \text{sin}^2 \beta \)

\( \text{tg } x \cdot \text{ctg } x = 1 \), значит \( \text{tg } \frac{\pi}{5} \text{ctg } \frac{\pi}{5} = 1 \).

Подставим в выражение:

\[ \frac{\text{cos}^2 \beta}{\text{sin}^2 \beta} + 1 \]

\( \frac{\text{cos}^2 \beta}{\text{sin}^2 \beta} = \text{ctg}^2 \beta \).

Выражение примет вид:

\[ \text{ctg}^2 \beta + 1 \]

По основному тригонометрическому тождеству \( 1 + \text{ctg}^2 \beta = \frac{1}{\text{sin}^2 \beta} \) или \( \text{cosec}^2 \beta \).

Ответ: \( \text{ctg}^2 \beta + 1 \) (или \( \text{cosec}^2 \beta \))