7. Через середину диагонали KM прямоугольника KLMN перпендикулярно этой диагонали проведена прямая, пересекающая стороны KL и MN в точках A и B соответственно. Известно, что AB = BM = 6 см. Найдите большую сторону прямоугольника.

Пусть большая сторона прямоугольника равна \(x\), а меньшая — \(y\). Так как прямая проходит через середину диагонали и перпендикулярна ей, точки пересечения симметричны относительно центра прямоугольника.

Из условия \(BM=6\) получаем, что горизонтальная составляющая положения точки \(A\) равна 6 см. Поэтому горизонтальная составляющая отрезка \(AB\) равна \(x-12\).

По теореме Пифагора:

\((x-12)^2+y^2=AB^2=36\).

Из перпендикулярности прямых следует:

\(y^2=x(x-12)\).

Подставим:

\((x-12)^2+x(x-12)=36\),
\((x-12)(2x-12)=36\),
\((x-12)(x-6)=18\),
\(x^2-18x+54=0\).

\(x=9\pm3\sqrt3\). Большая сторона должна быть больше 12 см, поэтому:

\(x=9+3\sqrt3\) см.

Ответ: \(9+3\sqrt3\) см.