7. (1 балл) Пусть популяции бактерий в момент времени t сек. насчитывают Х особей. X(t) = 5000 + 200t². Найти скорость роста популяции в момент времени 2 сек.

Решение:

Скорость роста популяции — это производная функции \( X(t) \) по времени \( t \).

Дана функция: \( X(t) = 5000 + 200t^2 \).

Найдём производную \( X'(t) \):

\( X'(t) = \frac{d}{dt}(5000 + 200t^2) \)

Производная константы равна 0:

\( \frac{d}{dt}(5000) = 0 \)

Производная \( 200t^2 \) находится по правилу \( n · x^{n-1} \):

\( \frac{d}{dt}(200t^2) = 200 · 2t^{2-1} = 400t \)

Таким образом, скорость роста популяции равна:

\( X'(t) = 0 + 400t = 400t \)

Теперь найдём скорость роста в момент времени \( t = 2 \) сек.:

\( X'(2) = 400 · 2 \)

\( X'(2) = 800 \)

Скорость роста измеряется в особях в секунду.

Ответ: 800 особей/сек.