10. (1 балл) Вычислите: \( \int_{1}^{2} 3x^2 dx \).

Решение:

Для вычисления определённого интеграла найдём первообразную функции \( 3x^2 \) и затем вычислим разность её значений в верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Первообразная функции \( ax^n \) равна \( a · \frac{x^{n+1}}{n+1} \).

Для \( 3x^2 \), первообразная будет:

\( F(x) = 3 · \frac{x^{2+1}}{2+1} = 3 · \frac{x^3}{3} = x^3 \)

Теперь вычислим определённый интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

\( \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \)

В нашем случае \( a=1 \) и \( b=2 \), \( F(x) = x^3 \).

\( \int_{1}^{2} 3x^2 dx = F(2) - F(1) \)

\( F(2) = 2^3 = 8 \)

\( F(1) = 1^3 = 1 \)

\( \int_{1}^{2} 3x^2 dx = 8 - 1 = 7 \)

Ответ: 7.