61. Основания равнобедренной трапеции равны 4 и 20, а её боковые стороны равны 17. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Площадь трапеции вычисляется по формуле: \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \), где \(a\) и \(b\) — основания, \(h\) — высота.

Дано: основания \( a = 4 \) и \( b = 20 \), боковые стороны \( c = 17 \).

1. Найдем высоту трапеции. Опустим две высоты из вершин верхнего основания на нижнее. Нижнее основание разделится на три отрезка: \( x \), \( 4 \) (равно верхнему основанию) и \( y \).
2. Сумма отрезков \( x \) и \( y \) равна разнице оснований: \( x + y = 20 - 4 = 16 \).
3. Так как трапеция равнобедренная, то \( x = y \). Следовательно, \( x = y = \frac{16}{2} = 8 \).
4. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой \( h \), боковой стороной \( c = 17 \) и отрезком \( x = 8 \).
5. По теореме Пифагора: \( h^2 + x^2 = c^2 \)
• \( h^2 + 8^2 = 17^2 \)
• \( h^2 + 64 = 289 \)
• \( h^2 = 289 - 64 \)
• \( h^2 = 225 \)
• \( h = \sqrt{225} = 15 \)
6. Рассчитаем площадь трапеции:
• \( S = \frac{4+20}{2} \cdot 15 = \frac{24}{2} \cdot 15 = 12 \cdot 15 = 180 \)

Ответ: 180.