6.) В ДАВС АВ = ВС, ВЕ - медиана треугольника АВС, Угол АВЕ =41°. Найдите углы АВС и СЕВ.

Решение:

В треугольнике △ABC известно, что AB = BC, значит, треугольник △ABC является равнобедренным.

1. BE — медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию AC. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также биссектрисой и высотой.
2. Следовательно, BE является биссектрисой угла ∠ABC.
3. Значит, ∠ABC = 2 * ∠ABE.
4. ∠ABC = 2 * 41° = 82°.
5. Так как BE является высотой, то BE ⊥ AC, и угол ∠BEA = 90°.
6. Рассмотрим треугольник △ABE. Сумма углов в треугольнике равна 180°.
• ∠BAE + ∠ABE + ∠BEA = 180°
• ∠BAE + 41° + 90° = 180°
• ∠BAE + 131° = 180°
• ∠BAE = 180° - 131° = 49°
7. В равнобедренном треугольнике △ABC углы при основании равны: ∠BAC = ∠BCA.
8. Следовательно, ∠BCA = 49°.
9. Теперь рассмотрим треугольник △CEB. Сумма углов в треугольнике равна 180°.
• ∠CBE + ∠BEС + ∠BCE = 180°
• ∠CBE — это часть угла ∠ABC. Так как BE — биссектриса, то ∠CBE = ∠ABE = 41°.
• ∠BEC — смежный с углом ∠BEA. Угол ∠BEA = 90°, значит, ∠BEC = 180° - 90° = 90°.
• ∠BCE = ∠BCA = 49°.
10. Проверим сумму углов в △CEB:
• 41° + 90° + 49° = 180°. Верно.
11. Нам нужно найти угол ∠CEB. Угол ∠CEB равен ∠BEC, который мы нашли как 90°.

Ответ: ∠ABC = 82°, ∠CEB = 90°.