6. Решите уравнение √2x + 3 =6 - x

Решение:

1. ОДЗ: Выражение под корнем должно быть неотрицательным: \( 2x + 3 \ge 0 \Rightarrow 2x \ge -3 \Rightarrow x \ge -1.5 \).
2. Также, чтобы корень был равен выражению, это выражение должно быть неотрицательным: \( 6 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 6 \).
3. Возведём обе части уравнения в квадрат: \( (\sqrt{2x + 3})^2 = (6 - x)^2 \) \( 2x + 3 = 36 - 12x + x^2 \)
4. Приведём уравнение к квадратному виду: \( x^2 - 12x - 2x + 36 - 3 = 0 \) \( x^2 - 14x + 33 = 0 \)
5. Решим квадратное уравнение. Найдём дискриминант: \( D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 33 = 196 - 132 = 64 \).
6. Найдём корни: \( x_1 = \frac{14 + \sqrt{64}}{2} = \frac{14 + 8}{2} = \frac{22}{2} = 11 \) \( x_2 = \frac{14 - \sqrt{64}}{2} = \frac{14 - 8}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)
7. Проверим корни на соответствие ОДЗ (\( x \ge -1.5 \) и \( x \le 6 \)).
• Корень \( x = 11 \) не удовлетворяет условию \( x \le 6 \).
• Корень \( x = 3 \) удовлетворяет обоим условиям \( 3 \ge -1.5 \) и \( 3 \le 6 \).
8. Подставим \( x=3 \) в исходное уравнение для окончательной проверки: \( \sqrt{2(3) + 3} = 6 - 3 \Rightarrow \sqrt{6 + 3} = 3 \Rightarrow \sqrt{9} = 3 \Rightarrow 3 = 3 \). Уравнение выполняется.

Ответ: 3.