11. Решите уравнение 2sinx + √2 = 0

Решение:

1. Изолируем \( \sin x \): \( 2 \sin x = -\sqrt{2} \)
2. Разделим обе части на 2: \( \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)
3. Найдём значения \( x \), для которых синус равен \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \). Эти значения находятся в третьем и четвёртом квадрантах единичной окружности.
4. Основной угол, синус которого равен \( \frac{\sqrt{2}}{2} \), это \( \frac{\pi}{4} \).
5. Так как синус отрицательный, мы берём углы, отсчитываемые от отрицательной части оси абсцисс:
• \( x_1 = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi + \pi}{4} = \frac{5\pi}{4} \)
• \( x_2 = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{8\pi - \pi}{4} = \frac{7\pi}{4} \)
6. Общее решение уравнения записывается с учётом периодичности синуса (период \( 2\pi \)):
\( x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k \) \( x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \) ( \( k \) — любое целое число).

Ответ: \( x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k, x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \).