6. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Решение:

Построим треугольник ABC на сетке:

Координаты вершин:

A = (0, 0)

B = (4, 0)

C = (2, 3)

Найдем длины сторон треугольника:

\[ a = BC = \sqrt{(4-2)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13} \]

\[ b = AC = \sqrt{(2-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13} \]

\[ c = AB = \sqrt{(4-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{4^2} = 4 \]

Треугольник равнобедренный.

Площадь треугольника:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot y_C = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6 \]

Радиус вписанной окружности \( r \) находится по формуле:

\[ r = \frac{S}{p} \]

где \( p \) — полупериметр треугольника.

\[ p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{\sqrt{13} + \sqrt{13} + 4}{2} = \frac{2\sqrt{13} + 4}{2} = \sqrt{13} + 2 \]

\[ r = \frac{6}{\sqrt{13} + 2} \]

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \( \sqrt{13} - 2 \):

\[ r = \frac{6(\sqrt{13} - 2)}{(\sqrt{13} + 2)(\sqrt{13} - 2)} = \frac{6(\sqrt{13} - 2)}{13 - 4} = \frac{6(\sqrt{13} - 2)}{9} = \frac{2(\sqrt{13} - 2)}{3} \]

Ответ: \( \frac{2(\sqrt{13}-2)}{3} \)