4. Отрезки АС и BD — диаметры окружности с центром О. Угол AOD равен 66°. Найдите вписанный угол АСВ. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Угол \( \angle AOD \) — центральный угол, опирающийся на дугу \( AD \). Следовательно, дуга \( AD = 66^{\circ} \).

Угол \( \angle ABC \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( AC \).

Угол \( \angle AOD \) и \( \angle BOC \) — вертикальные, поэтому \( \angle BOC = \angle AOD = 66^{\circ} \).

Угол \( \angle BAC \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( BC \).

\( \angle AOC \) — развёрнутый угол \( 180^{\circ} \).

\( \angle BOC = 180^{\circ} - \angle AOD = 180^{\circ} - 66^{\circ} = 114^{\circ} \).

Дуга \( BC \) равна \( 114^{\circ} \).

Угол \( \angle BAC \) равен половине дуги \( BC \): \( \angle BAC = \frac{114^{\circ}}{2} = 57^{\circ} \).

Угол \( \angle ABD \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( AD \).

\( \angle ABD = \frac{66^{\circ}}{2} = 33^{\circ} \).

В треугольнике \( \triangle ABC \):

\[ \angle ACB = 180^{\circ} - \angle BAC - \angle ABC \]

Угол \( \angle ABC \) опирается на дугу \( AC \).

Дуга \( AC = 180^{\circ} - \text{дуга } BC = 180^{\circ} - 114^{\circ} = 66^{\circ} \).

\( \angle ABC = \frac{66^{\circ}}{2} = 33^{\circ} \).

\( \angle ACB = 180^{\circ} - 57^{\circ} - 33^{\circ} = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \).

Ответ: 90