6. Найдите корень уравнения \( \sqrt{\frac{5}{3-2x}} = \frac{1}{9} \).

Решение:

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\( \frac{5}{3-2x} = (\frac{1}{9})^2 \).

\( \frac{5}{3-2x} = \frac{1}{81} \).

Теперь перемножим крест-накрест:

\( 5 \cdot 81 = 1 (3-2x) \).

\( 405 = 3 - 2x \).

Перенесем 3 в левую часть:

\( 405 - 3 = -2x \).

\( 402 = -2x \).

Разделим обе части на -2:

\( x = \frac{402}{-2} \).

\( x = -201 \).

Проверим область допустимых значений. Знаменатель \( 3-2x \) не должен быть равен нулю: \( 3-2x e 0 \Rightarrow 2x e 3 \Rightarrow x e 1.5 \). Также подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \( \frac{5}{3-2x} \ge 0 \). Так как 5 > 0, то \( 3-2x > 0 \), что означает \( x < 1.5 \).

Наш корень \( x = -201 \) удовлетворяет условию \( x < 1.5 \).

Ответ: -201