3. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 5, а объем равен \( 6\sqrt{3} \).

Решение:

Объем правильной треугольной пирамиды вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h \), где \( S_{осн} \) — площадь основания, \( h \) — высота.

Основание пирамиды — правильный треугольник со стороной \( a = 5 \).

Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле \( S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \).

\( S_{осн} = \frac{5^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{25\sqrt{3}}{4} \).

Объем пирамиды дан: \( V = 6\sqrt{3} \).

Подставим известные значения в формулу объема:

\( 6\sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{25\sqrt{3}}{4} \cdot h \).

Упростим уравнение:

\( 6\sqrt{3} = \frac{25\sqrt{3}}{12} \cdot h \).

Выразим \( h \):

\( h = \frac{6\sqrt{3} \cdot 12}{25\sqrt{3}} \).

Сократим \( \sqrt{3} \):

\( h = \frac{6 \cdot 12}{25} = \frac{72}{25} \).

\( h = 2.88 \).

Ответ: 2.88