5. Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень даётся не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно пять мишеней» больше вероятности события «стрелок поразит ровно четыре мишени»?

Решение:

Это задача на биномиальное распределение. Вероятность поразить мишень одним выстрелом \( p = 0.6 \), вероятность промахнуться \( q = 1 - p = 1 - 0.6 = 0.4 \).

Вероятность поразить ровно \( k \) мишеней из \( n \) при \( m \) выстрелах на каждую мишень, где \( k \le n \) и \( m \le 2 \), равна \( P(X=k) = C_n^k \cdot P_{поражения_k} \).

Событие «стрелок поразит ровно пять мишеней» означает, что каждая из пяти мишеней будет поражена. Вероятность поразить одну мишень равна 0.6. Так как на каждую мишень дается не более двух выстрелов, и вероятность поражения каждым выстрелом 0.6, то вероятность поразить одну мишень равна 0.6. Если первый выстрел не поразил, второй с вероятностью 0.6 поразит. Вероятность поразить мишень в любом случае (хотя бы одним выстрелом) равна 0.6. Если первый выстрел попадает (0.6), то мишень поражена. Если первый выстрел промахивается (0.4), то второй выстрел должен попасть (0.6). Таким образом, вероятность поразить мишень (успех) равна 0.6.

Вероятность поразить ровно 5 мишеней из 5: \( P(X=5) = C_5^5 0.6^5 (0.4)^0 = 1 0.6^5 = 0.07776 \).

Вероятность поразить ровно 4 мишени из 5:

\( P(X=4) = C_5^4 0.6^4 (0.4)^1 \).

\( C_5^4 = \frac{5!}{4!1!} = 5 \).

\( P(X=4) = 5 (0.6)^4 0.4 = 5 0.1296 0.4 = 5 0.05184 = 0.2592 \).

Найдем, во сколько раз вероятность поразить 5 мишеней больше вероятности поразить 4 мишени:

\( \frac{P(X=5)}{P(X=4)} = \frac{0.07776}{0.2592} \).

\( \frac{0.07776}{0.2592} = \frac{7776}{25920} \).

Разделим числитель и знаменатель на 7776:

\( \frac{1}{25920/7776} = \frac{1}{3.333...} = \frac{1}{10/3} = \frac{3}{10} \).

Получилось, что вероятность поразить 5 мишеней меньше вероятности поразить 4 мишени. Перечитаем условие.

Вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0.6. Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень даётся не более двух выстрелов.

Вероятность поразить одну мишень (событие S):

S = (попал первым выстрелом) ИЛИ (промахнулся первым И попал вторым)

\( P(S) = 0.6 + 0.4 0.6 = 0.6 + 0.24 = 0.84 \).

Теперь рассчитаем вероятности с \( p = 0.84 \) и \( q = 1 - 0.84 = 0.16 \).

Вероятность поразить ровно 5 мишеней из 5:

\( P(X=5) = C_5^5 (0.84)^5 (0.16)^0 = 1 (0.84)^5 1 0.37015055 \).

Вероятность поразить ровно 4 мишени из 5:

\( P(X=4) = C_5^4 (0.84)^4 (0.16)^1 \).

\( C_5^4 = 5 \).

\( P(X=4) = 5 (0.84)^4 0.16 = 5 0.49787136 0.16 = 5 0.0796594176 = 0.398297088 \).

Найдем, во сколько раз вероятность поразить 5 мишеней больше вероятности поразить 4 мишени:

\( \frac{P(X=5)}{P(X=4)} = \frac{0.37015055}{0.398297088} \).

\( \frac{0.37015055}{0.398297088} \approx 0.9293 \).

Значит, вероятность поразить 4 мишени больше.

Возможно, в условии подразумевается, что если первый выстрел не попал, то второй выстрел - это отдельное событие, и нужно поразить ровно 4 мишени из 5, то есть 4 мишени из 5 должны быть поражены, а 1 мишень не поражена. Если на мишень дается 2 выстрела, и вероятность поражения 0.6, то вероятность не поразить мишень за 2 выстрела равна \( 0.4 \times 0.4 = 0.16 \). Вероятность поразить мишень тогда \( 1 - 0.16 = 0.84 \). Это мы уже посчитали. Перечитаем условие.

«вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6»

«Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням.»

«Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно пять мишеней» больше вероятности события «стрелок поразит ровно четыре мишени»?»

Здесь нужно внимательно прочитать: