6. Из точки А вне плоскости α проведен перпендикуляр АС, равный 12см и наклонная АВ – 13см. Найти длину проекции.

Решение:

Пусть \( AC \) — перпендикуляр, опущенный из точки \( A \) на плоскость \( \alpha \). Длина перпендикуляра \( AC = 12 \) см.

Пусть \( AB \) — наклонная, проведенная из точки \( A \) к плоскости \( \alpha \). Длина наклонной \( AB = 13 \) см.

\( BC \) — проекция наклонной \( AB \) на плоскость \( \alpha \).

Треугольник \( \triangle ABC \) является прямоугольным (так как \( AC \) — перпендикуляр к плоскости, то он перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку касания \( C \)), с прямым углом \( \angle ACB = 90^{\circ} \).

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника \( \triangle ABC \) имеем:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

Найдем длину проекции \( BC \):

\[ BC^2 = AB^2 - AC^2 \]

\[ BC^2 = 13^2 - 12^2 \]

\[ BC^2 = 169 - 144 \]

\[ BC^2 = 25 \]

\[ BC = \(\sqrt{25}\) = 5 \) см.

Ответ: 5 см.