11. Вычислите интеграл методом подстановки: ∫cos³ x sin x dx.

Решение:

Используем метод замены переменной. Пусть \( u = \cos x \). Тогда \( du = -\sin x dx \), или \( \sin x dx = -du \).

Подставим в интеграл:

\[ \int \cos^3 x \sin x dx = \int u^3 (-du) = -\int u^3 du \]

Проинтегрируем:

\[ -\int u^3 du = -\frac{u^{3+1}}{3+1} + C = -\frac{u^4}{4} + C \]

Вернемся к исходной переменной \( x \), подставив \( u = \cos x \):

\[ -\frac{(\cos x)^4}{4} + C = -\frac{\cos^4 x}{4} + C \]

Ответ: \( -\frac{\cos^4 x}{4} + C \).