5. Решите систему уравнений: { x^2+y^2=45; xy=18}

Решение:

Решим систему уравнений:

• \( \begin{cases} x^2+y^2=45 \\ xy=18 \end{cases} \)
• Из второго уравнения выразим \( y \): \( y = \frac{18}{x} \).
• Подставим это выражение в первое уравнение:
• \( x^2 + \left(\frac{18}{x}\right)^2 = 45 \)
• \( x^2 + \frac{324}{x^2} = 45 \)
• Умножим обе части на \( x^2 \) (при условии \( x \neq 0 \)):
• \( x^4 + 324 = 45x^2 \)
• Перенесем все в одну сторону:
• \( x^4 - 45x^2 + 324 = 0 \)
• Сделаем замену переменной: пусть \( t = x^2 \). Тогда \( t^2 - 45t + 324 = 0 \).
• Решим квадратное уравнение для \( t \) через дискриминант:
• \( D = (-45)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 324 = 2025 - 1296 = 729 \).
• \( \sqrt{D} = \sqrt{729} = 27 \).
• \( t_1 = \frac{45 + 27}{2} = \frac{72}{2} = 36 \)
• \( t_2 = \frac{45 - 27}{2} = \frac{18}{2} = 9 \)
• Теперь найдем \( x \) из \( t = x^2 \):
• Если \( t_1 = 36 \), то \( x^2 = 36 \), значит \( x = ± 6 \).
• Если \( t_2 = 9 \), то \( x^2 = 9 \), значит \( x = ± 3 \).
• Найдем соответствующие значения \( y \) из \( y = \frac{18}{x} \):
• При \( x = 6 \), \( y = \frac{18}{6} = 3 \).
• При \( x = -6 \), \( y = \frac{18}{-6} = -3 \).
• При \( x = 3 \), \( y = \frac{18}{3} = 6 \).
• При \( x = -3 \), \( y = \frac{18}{-3} = -6 \).

Ответ: \( (6; 3), (-6; -3), (3; 6), (-3; -6) \).