2. Вычислите: А) 7^2 + log_7 5 Б) \(5 \sqrt{5}+2\) 2 - \(\sqrt{5}\) В) 64^{1/3} - (1/2)^(-2) Г) \(\int\)_1^3 \(\frac{4x^2 - x^3}{x^2}\) dx

Решение:

А) Вычислим 7^2 + log_7 5

• \( 7^2 = 49 \)
• \( \log_7 5 \) — это логарифм, который нельзя вычислить точно без калькулятора, оставим в таком виде.
• \( 49 + \log_7 5 \)

Б) Вычислим \(5 \sqrt{5}+2\) 2 - \(\sqrt{5}\)

• Раскроем скобки: \( (5 \sqrt{5} + 2) \cdot 2 = 10 \sqrt{5} + 4 \).
• Теперь вычтем \( \sqrt{5} \): \( 10 \sqrt{5} + 4 - \sqrt{5} = 9 \sqrt{5} + 4 \).

В) Вычислим 64^{1/3} - (1/2)^(-2)

• \( 64^{1/3} \) — это кубический корень из 64, что равно 4.
• \( (1/2)^{-2} \) — это \( 2^2 \) (потому что отрицательная степень переворачивает дробь), что равно 4.
• \( 4 - 4 = 0 \).

Г) Вычислим интеграл \(\int\)_1^3 \(\frac{4x^2 - x^3}{x^2}\) dx

• Упростим подынтегральную функцию: \( \frac{4x^2 - x^3}{x^2} = \frac{4x^2}{x^2} - \frac{x^3}{x^2} = 4 - x \).
• Теперь вычислим интеграл от \( 4 - x \): \( \int (4-x) dx = 4x - \frac{x^2}{2} \).
• Подставим пределы интегрирования от 1 до 3:
• \( \left[ 4x - \frac{x^2}{2} \right]_1^3 = \left( 4 \cdot 3 - \frac{3^2}{2} \right) - \left( 4 \cdot 1 - \frac{1^2}{2} \right) \)
• \( = \left( 12 - \frac{9}{2} \right) - \left( 4 - \frac{1}{2} \right) \)
• \( = \left( \frac{24}{2} - \frac{9}{2} \right) - \left( \frac{8}{2} - \frac{1}{2} \right) \)
• \( = \frac{15}{2} - \frac{7}{2} = \frac{8}{2} = 4 \).

Ответ: А) \( 49 + \log_7 5 \); Б) \( 9 \sqrt{5} + 4 \); В) 0; Г) 4.