1. Используя правила и формулы дифференцирования, найдите производные функций: а) y = x^9/36 - 7x^2+x-4 б) y = 8 \(\sqrt{x}\)+sin x.

Решение:

а) Найдем производную функции y = \(\frac{x^9}{36}\) - 7x^2 + x - 4

• Используем правила дифференцирования: \( (u ± v)' = u' ± v' \) и \( (cx^n)' = cnx^{n-1} \).
• Производная от \( \frac{x^9}{36} \) равна \( \frac{1}{36} \cdot 9x^{9-1} = \frac{9}{36}x^8 = \frac{1}{4}x^8 \).
• Производная от \( -7x^2 \) равна \( -7 · 2x^{2-1} = -14x \).
• Производная от \( x \) равна \( 1 \).
• Производная от константы \( -4 \) равна \( 0 \).
• Складываем все производные: \( y' = \frac{1}{4}x^8 - 14x + 1 \).

б) Найдем производную функции y = 8\(\sqrt{x}\) + \(\sin\) x

• Представим \( \sqrt{x} \) как \( x^{1/2} \).
• Производная от \( 8x^{1/2} \) равна \( 8 · \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} = 4x^{-1/2} = \frac{4}{\sqrt{x}} \).
• Производная от \( \sin x \) равна \( \cos x \).
• Складываем все производные: \( y' = \frac{4}{\sqrt{x}} + \cos x \).

Ответ: а) \( y' = \frac{1}{4}x^8 - 14x + 1 \); б) \( y' = \frac{4}{\sqrt{x}} + \cos x \).