5. Найдите производную e^(1-x) * cos(2x)

Задание 5. Производная от e^1-x * cos(2x)

Для нахождения производной этой функции мы будем использовать правило дифференцирования произведения.

Правило дифференцирования произведения:

Если у нас есть функция вида f(x) * g(x), то ее производная равна:

\[ (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \]

Шаг 1: Найдем производные каждого множителя.

1. Найдем производную первого множителя, f(x) = e^1-x:
• Это сложная функция. Производная от e^u равна e^u * u'.
• Внутренняя функция u = 1 - x, ее производная u' = -1.
• Таким образом, производная от e^1-x равна e^1-x * (-1) = -e^1-x.
2. Найдем производную второго множителя, g(x) = cos(2x):
• Это тоже сложная функция. Производная от cos(u) равна -sin(u) * u'.
• Внутренняя функция u = 2x, ее производная u' = 2.
• Таким образом, производная от cos(2x) равна -sin(2x) * 2 = -2sin(2x).

Шаг 2: Применим правило дифференцирования произведения.

\[ (e^{1-x} \cdot \cos(2x))' = (-e^{1-x}) \cdot \cos(2x) + e^{1-x} \cdot (-2\sin(2x)) \]