5. (ФИПИ) Имеются два сосуда, содержащие 22 кг и 18 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 32% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 34% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?

Задание 5. Задача на растворы

Дано:

• Масса первого раствора: \( m_1 = 22 \) кг.
• Масса второго раствора: \( m_2 = 18 \) кг.
• Концентрация кислоты в первом растворе: \( C_1 \) (неизвестна).
• Концентрация кислоты во втором растворе: \( C_2 \) (неизвестна).
• При сливании вместе (22 кг + 18 кг) концентрация кислоты: \( C_{общ} = 32 \)% = 0.32.
• При сливании равных масс (пусть \( m \) кг каждого) концентрация кислоты: \( C_{равн} = 34 \)% = 0.34.

Найти: массу кислоты в первом растворе (\( m_{кислоты, 1} \)).

Решение:

Шаг 1: Определим массу кислоты в каждом растворе.

Масса кислоты в первом растворе: \( m_{кислоты, 1} = m_1 × C_1 = 22C_1 \) кг.

Масса кислоты во втором растворе: \( m_{кислоты, 2} = m_2 × C_2 = 18C_2 \) кг.

Шаг 2: Составим уравнение для случая сливания вместе.

Общая масса раствора: \( m_{общ} = m_1 + m_2 = 22 + 18 = 40 \) кг.

Общая масса кислоты: \( m_{кислоты, общ} = m_{кислоты, 1} + m_{кислоты, 2} = 22C_1 + 18C_2 \) кг.

Концентрация общего раствора: \( C_{общ} = \frac{m_{кислоты, общ}}{m_{общ}} \)

\[ 0.32 = \frac{22C_1 + 18C_2}{40} \]

\[ 0.32 × 40 = 22C_1 + 18C_2 \]

\[ 12.8 = 22C_1 + 18C_2 \]

Разделим на 2 для упрощения:

\[ 6.4 = 11C_1 + 9C_2 \] (Уравнение 1)

Шаг 3: Составим уравнение для случая сливания равных масс.

Пусть мы берем по \( m \) кг каждого раствора.

Масса кислоты из первого раствора: \( m × C_1 \) кг.

Масса кислоты из второго раствора: \( m × C_2 \) кг.

Общая масса полученного раствора: \( m + m = 2m \) кг.

Общая масса кислоты: \( mC_1 + mC_2 = m(C_1 + C_2) \) кг.

Концентрация полученного раствора: \( C_{равн} = \frac{m(C_1 + C_2)}{2m} = \frac{C_1 + C_2}{2} \)

\[ 0.34 = \frac{C_1 + C_2}{2} \]

\[ 0.34 × 2 = C_1 + C_2 \]

\[ 0.68 = C_1 + C_2 \] (Уравнение 2)

Шаг 4: Решим систему из двух уравнений.

У нас система:

\[ \begin{cases} 11C_1 + 9C_2 = 6.4 \\ C_1 + C_2 = 0.68 \end{cases} \]

Из второго уравнения выразим \( C_2 \):

\[ C_2 = 0.68 - C_1 \]

Подставим в первое уравнение:

\[ 11C_1 + 9(0.68 - C_1) = 6.4 \]

\[ 11C_1 + 6.12 - 9C_1 = 6.4 \]

\[ 2C_1 = 6.4 - 6.12 \]

\[ 2C_1 = 0.28 \]

\[ C_1 = \frac{0.28}{2} \]

\[ C_1 = 0.14 \]

Итак, концентрация первого раствора 0.14, или 14%.

Шаг 5: Найдем массу кислоты в первом растворе.

Масса кислоты в первом растворе = \( m_1 × C_1 \)

\[ m_{кислоты, 1} = 22 \text{ кг} × 0.14 \]

\[ m_{кислоты, 1} = 3.08 \text{ кг} \]

Проверка (необязательно, но полезно):
Найдем \( C_2 \): \( C_2 = 0.68 - 0.14 = 0.54 \) (54%).
Масса кислоты во втором растворе: \( 18 \text{ кг} × 0.54 = 9.72 \text{ кг} \>.
При сливании вместе: \( 3.08 + 9.72 = 12.8 \) кг кислоты в 40 кг раствора. Концентрация: \( \frac{12.8}{40} = 0.32 \) (32%). Верно.
При сливании равных масс (например, по 1 кг): \( 1 × 0.14 + 1 × 0.54 = 0.14 + 0.54 = 0.68 \) кг кислоты в 2 кг раствора. Концентрация: \( \frac{0.68}{2} = 0.34 \) (34%). Верно.

Ответ: В первом растворе содержится 3.08 кг кислоты.