5. (1 балл) Решите уравнение: 4^x - 4^x-1 = 4.

Решение:

Вынесем общий множитель \( 4^{x-1} \):

\[ 4^{x-1} (4^1 - 1) = 4 \]

Упростим выражение в скобках:

\[ 4^{x-1} (3) = 4 \]

Разделим обе части на 3:

\[ 4^{x-1} = \frac{4}{3} \]

Чтобы решить это уравнение, нужно взять логарифм по основанию 4 от обеих частей:

\[ \log_4(4^{x-1}) = \log_4(\frac{4}{3}) \]

Используя свойство логарифма \( \log_a(a^b) = b \) и \( \log_a(\frac{b}{c}) = \log_a(b) - \log_a(c) \):

\[ x-1 = \log_4(4) - \log_4(3) \]

Так как \( \log_4(4) = 1 \):

\[ x-1 = 1 - \log_4(3) \]

Найдем \( x \):

\[ x = 2 - \log_4(3) \]

Ответ: \( x = 2 - \log_4(3) \).