4. В треугольник со сторонами 13 см, 14 см и 15 см вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.

Решение:

Стороны треугольника a=13, b=14, c=15.

Найдем площадь треугольника по формуле Герона:

1. Полупериметр (p): $$ p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+14+15}{2} = \frac{42}{2} = 21 \text{ см} $$
2. Площадь (S): $$ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2^3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 21 = 84 \text{ см}^2 $$
3. Радиус вписанной окружности (r): Площадь треугольника также равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности: $$ S = p \cdot r $$

$$ r = \frac{S}{p} = \frac{84}{21} = 4 \text{ см} $$

Ответ: 4