4. В параллелограмме ABCD диагональ АС в 2 раза больше стороны АВ и ∠ACD = 47°. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть \( AB = a \). Тогда \( AC = 2a \).

В треугольнике ABC, AB = a, AC = 2a. Пусть O — точка пересечения диагоналей.

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, значит, \( AO = OC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} (2a) = a \).

Рассмотрим треугольник ABC. У нас есть стороны AB = a, AO = a, OC = a.

Рассмотрим треугольник ABC. \( AB = a \) и \( AO = a \). Треугольник ABO — равнобедренный.

Рассмотрим треугольник BOC. \( OC = a \) и \( BC \).

Рассмотрим треугольник ADC. \( CD = AB = a \) и \( AC = 2a \). \( \angle ACD = 47^{\circ} \).

В параллелограмме противолежащие стороны равны: \( AB = CD = a \), \( BC = AD \).

Диагонали делятся пополам: \( AO = OC \), \( BO = OD \).

В треугольнике ABC: \( AB = a \). \( AO = \frac{1}{2} AC \).

Рассмотрим треугольник ADC. \( CD = a \). \( AC = 2a \). \( \angle ACD = 47^{\circ} \).

В треугольнике ADC, \( CD = a \) и \( AO = a \) (так как \( AO = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} (2a) = a \)).

Значит, треугольник ADC не является равнобедренным.

Рассмотрим треугольник ABC. \( AB = a \) и \( AO = a \). Значит, треугольник ABO — равнобедренный.

В треугольнике ADC, \( CD = a \) и \( AO = a \).

Так как ABCD — параллелограмм, \( \angle BAC = \angle ACD = 47^{\circ} \) (как накрест лежащие углы при параллельных AB и CD и секущей AC).

В треугольнике ABO: \( AB = a \), \( AO = a \). Треугольник ABO — равнобедренный.

Угол \( \angle AOB \) и \( \angle BOC \) — смежные.

Так как \( AB = AO = a \), то \( \triangle ABO \) — равнобедренный.

\( \angle OAB = \angle OBA \).

Мы знаем \( \angle BAC = 47^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник ADC. \( CD = a \). \( AC = 2a \). \( \angle ACD = 47^{\circ} \).

В \( \triangle ADC \), \( CD = a \), \( AO = a \). Значит \( \triangle ADO \) — равнобедренный.

\( \angle OAD = \angle ODA \).

В \( \triangle ADC \), \( \angle CAD + \angle ADC + \angle ACD = 180^{\circ} \)

\( \angle CAD + \angle ADC + 47^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle ADC = 180^{\circ} - 47^{\circ} - \angle CAD = 133^{\circ} - \angle CAD \)

В параллелограмме \( \angle DAB + \angle ADC = 180^{\circ} \).

\( \angle DAB = \angle DAC + \angle CAB = \angle DAC + 47^{\circ} \).

\( \angle DAC + 47^{\circ} + 133^{\circ} - \angle CAD = 180^{\circ} \)

\( 180^{\circ} = 180^{\circ} \). Это не помогает.

Вернемся к \( \triangle ABO \). \( AB = a \), \( AO = a \). \( \triangle ABO \) — равнобедренный.

Мы знаем \( \angle ACD = 47^{\circ} \). Из этого следует \( \angle BAC = 47^{\circ} \).

В \( \triangle ABC \), \( AB = a \), \( AC = 2a \).

В \( \triangle ABC \), \( \angle ABC + \angle BCA + \angle CAB = 180^{\circ} \).

\( \angle ABC + \angle BCA + 47^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle ABC + \angle BCA = 133^{\circ} \)

Рассмотрим \( \triangle ADC \). \( CD = a \), \( AC = 2a \). \( \angle ACD = 47^{\circ} \).

\( \angle CAD + \angle ADC + \angle ACD = 180^{\circ} \)

\( \angle CAD + \angle ADC + 47^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle CAD + \angle ADC = 133^{\circ} \)

В \( \triangle ADO \), \( AO = a \), \( AD = BC \). \( OD = \frac{1}{2} BD \).

В \( \triangle BOC \), \( OC = a \), \( BC \), \( BO = \frac{1}{2} BD \).

В \( \triangle ABO \), \( AB = a \), \( AO = a \). \( \triangle ABO \) — равнобедренный.

\( \angle OAB = 47^{\circ} \) (так как \( \angle BAC = \angle OAB \)).

Значит, \( \angle OBA = \angle OAB = 47^{\circ} \).

Угол между диагоналями \( \angle AOB = 180^{\circ} - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^{\circ} - (47^{\circ} + 47^{\circ}) = 180^{\circ} - 94^{\circ} = 86^{\circ} \).

Второй угол между диагоналями — смежный с \( \angle AOB \), то есть \( \angle BOC = 180^{\circ} - 86^{\circ} = 94^{\circ} \).

Меньший угол между диагоналями равен \( 86^{\circ} \).

Ответ: 86