4. Решите уравнение \(\sqrt{\frac{10x-3}{8}} = \frac{1}{2}\)

Решение:

Возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

\[ \left(\sqrt{\frac{10x-3}{8}}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \]

\[ \frac{10x-3}{8} = \frac{1}{4} \]

Умножим обе части на 8, чтобы избавиться от знаменателя:

\[ 10x - 3 = \frac{1}{4} \cdot 8 \]

\[ 10x - 3 = 2 \]

Прибавим 3 к обеим частям уравнения:

\[ 10x = 2 + 3 \]

\[ 10x = 5 \]

Разделим обе части на 10:

\[ x = \frac{5}{10} \]

\[ x = \frac{1}{2} \]

Проверим область допустимых значений: \( \frac{10x-3}{8} \ge 0 \).

\[ 10x - 3 \ge 0 \]

\[ 10x \ge 3 \]

\[ x \ge \frac{3}{10} \]

Так как \( \frac{1}{2} = 0.5 \) и \( \frac{3}{10} = 0.3 \), то \( 0.5 \ge 0.3 \), условие выполняется.

Ответ: \( x = \frac{1}{2} \).