4. Решите неравенство log₂(1-2x)>0

Решение:

1. Учтем область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма: аргумент логарифма должен быть строго больше нуля.

\( 1-2x > 0 \)

\( 1 > 2x \)

\( x < \frac{1}{2} \).

2. Решим само неравенство \( \log_2(1-2x) > 0 \).

Представим 0 как логарифм по основанию 2:

\( 0 = \log_2 1 \).

Неравенство примет вид: \( \log_2(1-2x) > \log_2 1 \).

Так как основание логарифма \( 2 > 1 \), функция \( y = \log_2 x \) возрастающая. Следовательно, мы можем приравнять аргументы, сохранив знак неравенства:

\( 1-2x > 1 \)

\( -2x > 1 - 1 \)

\( -2x > 0 \)

\( x < 0 \).

3. Объединим полученное решение \( x < 0 \) с ОДЗ \( x < \frac{1}{2} \).

Пересечение этих условий — \( x < 0 \).

Ответ: \( x \in (-\infty; 0) \).