1. Решите неравенство 4-x^2 / 2x-3 > 0

Решение:

1. Приведем неравенство к виду \( \frac{4-x^2}{2x-3} > 0 \).

Найдем корни числителя и знаменателя:

Числитель: \( 4-x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = ± 2 \).

Знаменатель: \( 2x-3 = 0 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = 1.5 \).

Отметим корни на числовой прямой: \( -2, 1.5, 2 \).

Определим знаки на интервалах:

• \( x < -2 \): например, \( x = -3 \). \( \frac{4 - (-3)^2}{2(-3) - 3} = \frac{4-9}{-6-3} = \frac{-5}{-9} > 0 \).
• \( -2 < x < 1.5 \): например, \( x = 0 \). \( \frac{4 - 0^2}{2(0) - 3} = \frac{4}{-3} < 0 \).
• \( 1.5 < x < 2 \): например, \( x = 1.8 \). \( \frac{4 - (1.8)^2}{2(1.8) - 3} = \frac{4-3.24}{3.6-3} = \frac{0.76}{0.6} > 0 \).
• \( x > 2 \): например, \( x = 3 \). \( \frac{4 - 3^2}{2(3) - 3} = \frac{4-9}{6-3} = \frac{-5}{3} < 0 \).

Нам нужен интервал, где выражение больше нуля.

Ответ: \( x \in (-\infty; -2) \cup (1.5; 2) \).