4. Докажите тождество: a) 1/(1 + tg²x) + sin⁴x + sin²x cos²x = 1; б) cos 4a + 1 = (1/2) sin 4a (ctg a - tg a).

a) 1/(1 + tg²x) = cos²x.
cos²x + sin⁴x + sin²x cos²x = cos²x + sin²x(sin²x + cos²x) = cos²x + sin²x = 1. Доказано.
б) (1/2) sin 4a (ctg a - tg a) = (1/2) * 2 sin 2a cos 2a * (cos a / sin a - sin a / cos a) = sin 2a cos 2a * (cos²a - sin²a) / (sin a cos a) = sin 2a cos 2a * cos 2a / ( (1/2) sin 2a) = 2 cos² 2a = 1 + cos 4a. Доказано.