34. В прямом параллелепипеде стороны основания 2√2 см и 5 см образуют угол 45°. Меньшая диагональ параллелепипеда равна 7см. Найдите его объем.

Решение:

Объем прямого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту. \( V = S_{осн} \cdot h \).

1. Найдем площадь основания. Используем формулу \( S_{осн} = ab \alpha \), где \( \alpha \) — угол между сторонами.
2. \( S_{осн} = (2\sqrt{2}) \cdot 5 \cdot \sin(45^{\circ}) = 10\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10 \cdot \frac{2}{2} = 10 \) см².
3. Найдем меньшую диагональ основания по теореме косинусов: \( d_{осн}^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha) \).
4. \( d_{осн}^2 = (2\sqrt{2})^2 + 5^2 - 2(2\sqrt{2})(5) \u0004 \cos(45^{\circ}) = 8 + 25 - 20\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 33 - 20 \cdot \frac{2}{2} = 33 - 20 = 13 \) см².
5. Меньшая диагональ параллелепипеда \( d \) связана с диагональю основания \( d_{осн} \) и высотой \( h \) формулой \( d^2 = d_{осн}^2 + h^2 \) (так как параллелепипед прямой).
6. \( 7^2 = 13 + h^2 \)
7. \( 49 = 13 + h^2 \)
8. \( h^2 = 49 - 13 = 36 \)
9. \( h = \sqrt{36} = 6 \) см.
10. Найдем объем параллелепипеда: \( V = S_{осн} \cdot h = 10 \text{ см}^2 \cdot 6 \text{ см} = 60 \) см³.

Ответ: 60 см³.