33. В прямой треугольной призме стороны оснований равны 4см, 5см и 7см, а боковое ребро равно большей высоте основания. Найдите объем призмы.

Решение:

Объем прямой призмы вычисляется по формуле \( V = S_{осн} \cdot h \), где \( S_{осн} \) — площадь основания, \( h \) — высота призмы (она же боковое ребро).

1. Найдем площадь треугольника основания по формуле Герона. Полупериметр \( p = \frac{4+5+7}{2} = \frac{16}{2} = 8 \) см.
2. \( S_{осн} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{8(8-4)(8-5)(8-7)} = \sqrt{8 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 1} = \sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4\sqrt{6} \) см².
3. Большая высота основания? Для треугольника со сторонами 4, 5, 7, наибольшая высота будет опущена на наименьшую сторону. Площадь через высоту: \( S_{осн} = \frac{1}{2} a h_a \).
4. \( 4\sqrt{6} = \frac{1}{2} 4 \cdot h_{min} \) → \( h_{min} = \frac{4\sqrt{6}}{2} = 2\sqrt{6} \) (высота к стороне 4).
5. \( 4\sqrt{6} = \frac{1}{2} 5 \cdot h_{med} \) → \( h_{med} = \frac{8\sqrt{6}}{5} \) (высота к стороне 5).
6. \( 4\sqrt{6} = \frac{1}{2} 7 \cdot h_{max} \) → \( h_{max} = \frac{8\sqrt{6}}{7} \) (высота к стороне 7).
7. Из условия задачи, боковое ребро равно большей высоте основания. Сравнивая \( 2\sqrt{6} \approx 4.9 \), \( \frac{8\sqrt{6}}{5} \approx 3.9 \), \( \frac{8\sqrt{6}}{7} \approx 2.8 \). Наибольшая высота — \( 2\sqrt{6} \).
8. Высота призмы \( h = 2\sqrt{6} \) см.
9. Найдем объем призмы: \( V = S_{осн} \cdot h = 4\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{6} = 8 \cdot 6 = 48 \) см³.

Ответ: 48 см³.