3. Решите уравнение log_1/2(8 - 4x) = -5

Решение:

По определению логарифма, если \( \log_a b = c \), то \( a^c = b \).

В данном уравнении основание \( a = \frac{1}{2} \), показатель \( c = -5 \), а выражение под логарифмом \( b = 8 - 4x \).

Применим определение логарифма:

\( \left(\frac{1}{2}\right)^{-5} = 8 - 4x \)

Вычислим левую часть:

\( \left(\frac{1}{2}\right)^{-5} = \frac{1}{(\frac{1}{2})^5} = \frac{1}{\frac{1}{32}} = 32 \)

Теперь подставим это значение обратно в уравнение:

\( 32 = 8 - 4x \)

Решим полученное линейное уравнение:

\( 4x = 8 - 32 \)

\( 4x = -24 \)

\( x = \frac{-24}{4} \)

\( x = -6 \)

Проверим область допустимых значений (ОДЗ): выражение под логарифмом должно быть положительным.

\( 8 - 4x > 0 \)

\( 8 - 4(-6) > 0 \)

\( 8 + 24 > 0 \)

\( 32 > 0 \)

ОДЗ выполняется.

Ответ: -6.