28 В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 7 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 160 мг. Найдите массу изотопа через 28 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение:

Масса изотопа уменьшается вдвое каждые 7 минут. Это задача на геометрическую прогрессию, где:

• Начальная масса: \( m_0 = 160 \) мг
• Период полураспада: \( T = 7 \) минут
• Время, прошедшее с начала: \( t = 28 \) минут

Сначала определим, сколько периодов полураспада прошло за 28 минут:

\[ \text{Количество периодов} = \frac{t}{T} = \frac{28 \text{ мин}}{7 \text{ мин}} = 4 \]

Значит, масса уменьшится вдвое 4 раза.

Найдем массу изотопа после каждого периода:

• Начало (0 минут): 160 мг
• Через 7 минут (1-й период): \( 160 · \frac{1}{2} = 80 \) мг
• Через 14 минут (2-й период): \( 80 · \frac{1}{2} = 40 \) мг
• Через 21 минуту (3-й период): \( 40 · \frac{1}{2} = 20 \) мг
• Через 28 минут (4-й период): \( 20 · \frac{1}{2} = 10 \) мг

Можно также использовать формулу:

\[ m(t) = m_0 · \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}} \]

\[ m(28) = 160 · \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{28}{7}} \]

\[ m(28) = 160 · \left(\frac{1}{2}\right)^{4} \]

\[ m(28) = 160 · \frac{1}{16} \]

\[ m(28) = 10 \]

Ответ: 10 миллиграмм.