27 У Яны есть попрыгунчик (каучуковый шарик). Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока попрыгунчик подлетел на высоту 240 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в два раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит попрыгунчик, станет меньше 5 см?

Решение:

Высоты, на которые подлетает попрыгунчик после каждого отскока, образуют геометрическую прогрессию, где:

• Первый член (высота после 1-го отскока): \( b_1 = 240 \) см
• Знаменатель прогрессии (во сколько раз уменьшается высота): \( q = \frac{1}{2} \)

Нам нужно найти номер отскока \( n \), после которого высота \( b_n \) станет меньше 5 см.

Запишем высоты после каждого отскока:

• После 1-го отскока: \( b_1 = 240 \) см
• После 2-го отскока: \( b_2 = 240 · \frac{1}{2} = 120 \) см
• После 3-го отскока: \( b_3 = 120 · \frac{1}{2} = 60 \) см
• После 4-го отскока: \( b_4 = 60 · \frac{1}{2} = 30 \) см
• После 5-го отскока: \( b_5 = 30 · \frac{1}{2} = 15 \) см
• После 6-го отскока: \( b_6 = 15 · \frac{1}{2} = 7.5 \) см
• После 7-го отскока: \( b_7 = 7.5 · \frac{1}{2} = 3.75 \) см

После 7-го отскока высота полета попрыгунчика стала меньше 5 см.

Ответ: после 7-го отскока.