25. В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 120, а площадь равна 540, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Решение:

Дано:

• Равнобедренная трапеция ABCD (AB=CD).
• Периметр \( P = 120 \)
• Площадь \( S = 540 \)
• В трапецию вписана окружность.

Найти:

• Расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания.

Свойства:

1. Для трапеции, в которую можно вписать окружность, сумма оснований равна сумме боковых сторон. Периметр \( P = a + b + 2c = 120 \), где \( a \) и \( b \) — основания, \( c \) — боковая сторона. Следовательно, \( a + b = 120 - 2c \). Также \( a + b = 2c \) (свойство описанной окружности). Значит, \( 2c = 120 - 2c \), \( 4c = 120 \), \( c = 30 \).

2. Сумма оснований \( a + b = 120 - 2(30) = 120 - 60 = 60 \).

3. Площадь трапеции \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \). Подставляем известные значения:

\[ 540 = \frac{60}{2} \cdot h \]\[ 540 = 30 \cdot h \]\[ h = \frac{540}{30} = 18 \]

Высота трапеции \( h = 18 \).

4. Проведем высоту из вершины B к основанию AD, обозначим точку пересечения как H. В прямоугольном треугольнике ABH: \( BH = h = 18 \), \( AB = c = 30 \). Найдём AH:

\[ AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{30^2 - 18^2} = \sqrt{900 - 324} = \sqrt{576} = 24 \]

5. Пусть \( b \) — меньшее основание, \( a \) — большее. Тогда \( a = AD = AH + HD + DC = 24 + 24 + b \) (так как трапеция равнобедренная, \( AH = HD = 24 \) если \( b=AD-2AH \). Точнее, \( a - b = 2 \times AH \).)

\[ a - b = 2 \times 24 = 48 \]

Теперь у нас есть система уравнений:

• \( a + b = 60 \)
• \( a - b = 48 \)

Сложим уравнения:

\[ 2a = 108 \implies a = 54 \]

Вычтем уравнения:

\[ 2b = 12 \implies b = 6 \]

Итак, основания трапеции равны 54 и 6. Меньшее основание — 6.

6. Пусть точка пересечения диагоналей — O. Треугольники BOC и DOA подобны (по двум углам, т.к. диагонали пересекаются, и основания параллельны).

Отношение подобия равно отношению оснований:

\[ k = \frac{BC}{AD} = \frac{b}{a} = \frac{6}{54} = \frac{1}{9} \]

Пусть \( h_1 \) — высота треугольника BOC (от O до BC), \( h_2 \) — высота треугольника DOA (от O до AD). Тогда \( h_1 + h_2 = h = 18 \).

Из подобия следует, что отношение высот также равно \( k \):

\[ \frac{h_1}{h_2} = k = \frac{1}{9} \]

Таким образом, \( h_2 = 9 h_1 \).

Подставляем в \( h_1 + h_2 = 18 \):

\[ h_1 + 9 h_1 = 18 \]\[ 10 h_1 = 18 \]\[ h_1 = 1.8 \]

Расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания (BC) равно \( h_1 \).

Ответ: 1.8.