22. Постройте график функции \( y = -4 - \frac{x+1}{x+5} \). Определите, при каких значениях т. прямая y = т не имеет с графиком общих точек.

Решение:

Преобразуем функцию:

\[ y = -4 - \frac{x+1}{x+5} = -4 - \frac{x+5-4}{x+5} = -4 - \left( 1 - \frac{4}{x+5} \right) = -4 - 1 + \frac{4}{x+5} = -5 + \frac{4}{x+5} \]

Это гипербола вида \( y = k + \frac{a}{x-b} \), где \( k = -5 \) (горизонтальный асимптота), \( x = -5 \) (вертикальная асимптота), \( a = 4 \).

График функции — гипербола с центром в точке \( (-5, -5) \). Ветви гиперболы направлены вправо и вверх, так как \( a > 0 \).

Прямая \( y = m \) не будет иметь общих точек с графиком гиперболы, если она совпадает с горизонтальной асимптотой.

Горизонтальная асимптота — это \( y = -5 \).

Следовательно, прямая \( y = m \) не будет иметь общих точек с графиком, когда \( m = -5 \).

График функции: