23. Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 71° и 79°. Найдите BC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 8.

Решение:

Дано:

• \( \angle B = 71^\circ \)
• \( \angle C = 79^\circ \)
• Радиус описанной окружности \( R = 8 \)

Найти:

• Сторону \( BC \)

Решение:

1. Найдем третий угол треугольника \( \angle A \). Сумма углов треугольника равна 180°.

\[ \angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C \]\[ \angle A = 180^\circ - 71^\circ - 79^\circ \]\[ \angle A = 180^\circ - 150^\circ \]\[ \angle A = 30^\circ \]

2. Используем теорему синусов, которая гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \]

Нам нужно найти сторону \( BC \), которая обозначена как \( a \) (так как она лежит напротив угла \( A \)).

\[ \frac{a}{\sin A} = 2R \]\[ a = 2R \cdot \sin A \]\[ a = 2 \cdot 8 \cdot \sin 30^\circ \]

Значение \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \).

\[ a = 16 \cdot \frac{1}{2} \]\[ a = 8 \]

Ответ: 8.