24. Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если его вершины последовательно соединить отрезками через одну, то получится квадрат.

1. Соединяя вершины правильного восьмиугольника через одну, мы получаем восьмиугольник, вписанный в ту же окружность.
2. Стороны этого нового восьмиугольника равны хордам, стягивающим равные дуги (по две дуги по 360°/8 = 45° каждая, итого 90°). Следовательно, все стороны равны.
3. Углы нового восьмиугольника также равны, так как они вписаны в окружность и опираются на равные дуги (по 4 дуги по 45°, итого 180°). Следовательно, это квадрат.
Доказано.