22. (3 балла) Решите уравнение: \(|3x + 6| = -3x - 6\).

Решение:

Рассмотрим два случая, исходя из определения модуля:

Случай 1: Если выражение под модулем неотрицательно, то есть \(3x + 6 \ge 0\).

\[ 3x \ge -6 \implies x \ge -2 \]

В этом случае \(|3x + 6| = 3x + 6\). Уравнение принимает вид:

\[ 3x + 6 = -3x - 6 \]

\[ 3x + 3x = -6 - 6 \]

\[ 6x = -12 \]

\[ x = -2 \]

Это значение \(x = -2\) удовлетворяет условию \(x \ge -2\), поэтому является решением.

Случай 2: Если выражение под модулем отрицательно, то есть \(3x + 6 < 0\).

\[ 3x < -6 \implies x < -2 \]

В этом случае \(|3x + 6| = -(3x + 6) = -3x - 6\). Уравнение принимает вид:

\[ -3x - 6 = -3x - 6 \]

Это тождество, которое верно при любом \(x\).

Однако, мы рассматриваем этот случай только для \(x < -2\). Следовательно, все \(x\), удовлетворяющие условию \(x < -2\), являются решениями данного уравнения.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем, что решением уравнения являются все \(x\), такие что \(x \le -2\).

Ответ: \(x \le -2\).