18. (1 балл) Найдите корни уравнения \(\sin x = 1\), принадлежащие отрезку \([0; \frac{\pi}{2}]\).

Решение:

Уравнение \(\sin x = 1\) имеет общее решение \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \(k\) — целое число.

Нам нужно найти значения \(x\), принадлежащие отрезку \([0; \frac{\pi}{2}]\).

Подставим различные целые значения \(k\) и проверим, попадает ли \(x\) в заданный отрезок:

• Если \(k = 0\): \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 0 = \frac{\pi}{2} \). Это значение принадлежит отрезку \([0; \frac{\pi}{2}]\).
• Если \(k = 1\): \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2} \). Это значение больше \(\frac{\pi}{2}\), поэтому не принадлежит отрезку.
• Если \(k = -1\): \( x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2} \). Это значение меньше \(0\), поэтому не принадлежит отрезку.

Единственный корень, принадлежащий заданному отрезку, — \(x = \frac{\pi}{2}\).

Ответ: \(x = \frac{\pi}{2}\).