20. (3 балла) В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка О — центр основания, S вершина, SO=4, SC=5. Найдите длину отрезка АС.

Решение:

Дано: правильная четырёхугольная пирамида SABCD.

O — центр основания.

S — вершина.

SO = 4 (высота пирамиды).

SC = 5 (боковое ребро).

Найти: AC (диагональ основания).

1. В правильной четырёхугольной пирамиде основание ABCD — квадрат.
2. Высота пирамиды SO перпендикулярна основанию.
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник SOC. SO — катет (высота), OC — катет (половина диагонали основания), SC — гипотенуза (боковое ребро).
4. По теореме Пифагора для треугольника SOC: \( SO^2 + OC^2 = SC^2 \).
5. Подставим известные значения: \( 4^2 + OC^2 = 5^2 \).
6. \( 16 + OC^2 = 25 \).
7. \( OC^2 = 25 - 16 = 9 \).
8. \( OC = \sqrt{9} = 3 \).
9. OC — это половина диагонали AC, так как O — центр квадрата (точка пересечения диагоналей).
10. Следовательно, \( AC = 2 \cdot OC \).
11. \( AC = 2 \cdot 3 = 6 \).

Ответ: AC = 6.