20. (3 балла) В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка О — центр основания, S — вершина, SO=4, SC=5. Найдите длину отрезка АС.

Решение:

В правильной четырехугольной пирамиде основание ABCD — квадрат. Точка О — центр квадрата, значит, \(AO = OC = BO = OD\) и \(AC = BD\).

\(SO\) — высота пирамиды, \(SO = 4\).

\(SC\) — боковое ребро, \(SC = 5\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(SOC\) (так как \(SO\) — высота, она перпендикулярна плоскости основания, а значит, любому отрезку в основании, проходящему через О, в том числе и OC).

По теореме Пифагора в \(\triangle SOC\):

\[ SO^2 + OC^2 = SC^2 \]

\[ 4^2 + OC^2 = 5^2 \]

\[ 16 + OC^2 = 25 \]

\[ OC^2 = 25 - 16 \]

\[ OC^2 = 9 \]

\[ OC = 3 \]

Так как \(OC\) — половина диагонали \(AC\) (поскольку О — центр квадрата), то:

\[ AC = 2 \cdot OC \]

\[ AC = 2 \cdot 3 \]

\[ AC = 6 \]

Ответ: 6.