21. (3 балла) Решите систему уравнений: \(\begin{cases} x - y = 7 \\ \log_2 (3x + y) = 3 \end{cases}\).

Решение:

Из первого уравнения выразим \(x\):

\[ x = y + 7 \]

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[ \log_2 (3(y+7) + y) = 3 \]

\[ \log_2 (3y + 21 + y) = 3 \]

\[ \log_2 (4y + 21) = 3 \]

По определению логарифма:

\[ 4y + 21 = 2^3 \]

\[ 4y + 21 = 8 \]

\[ 4y = 8 - 21 \]

\[ 4y = -13 \]

\[ y = -\frac{13}{4} \]

Теперь найдём \(x\), подставив значение \(y\) в уравнение \(x = y + 7\):

\[ x = -\frac{13}{4} + 7 \]

\[ x = -\frac{13}{4} + \frac{28}{4} \]

\[ x = \frac{15}{4} \]

Проверим ОДЗ для логарифма: \(3x+y > 0\).

\[ 3 \cdot \frac{15}{4} + (-\frac{13}{4}) = \frac{45}{4} - \frac{13}{4} = \frac{32}{4} = 8 \]

Так как \(8 > 0\), ОДЗ выполняется.

Ответ: \(x = \frac{15}{4}, y = -\frac{13}{4}\).