22. (3 балла) Найдите решение уравнения: 3cos²x-sinx-1=0

Решение:

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством \( \sin^2x + \cos^2x = 1 \), откуда \( \cos^2x = 1 - \sin^2x \). Подставим это в уравнение:

\[ 3(1 - \sin^2x) - \sin x - 1 = 0 \]\[ 3 - 3\sin^2x - \sin x - 1 = 0 \]\[ -3\sin^2x - \sin x + 2 = 0 \]

Умножим на -1:

\[ 3\sin^2x + \sin x - 2 = 0 \]

Пусть \( y = \sin x \). Тогда получим квадратное уравнение:

\[ 3y^2 + y - 2 = 0 \]

Решим его с помощью дискриминанта:

\[ D = 1^2 - 4(3)(-2) = 1 + 24 = 25 \]\[ \sqrt{D} = 5 \]

Найдем корни для \( y \):

\[ y_1 = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1 \]\[ y_2 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]

Теперь вернемся к \( \sin x \):

1. \( \sin x = -1 \)

\[ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \], где \( k \in \mathbb{Z} \).

\( \sin x = \frac{2}{3} \)

\[ x = \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + 2\pi n \]
или
\[ x = \pi - \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + 2\pi m \], где \( n, m \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \), \( x = \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + 2\pi n \), \( x = \pi - \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + 2\pi m \), где \( k, n, m \in \mathbb{Z} \).